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直動運動する負荷トルクの計算例②
ここではモーターの回転による直動系のイナーシャによるモーター負荷トルクついて実際に計算してみます。
ワークギヤとモーターギヤのギヤ比が異なるの場合の計算例です。
【モーター負荷トルク計算】
右図ようにラック＆ギヤがあり、可動体ワークはラックに固定
されています。ギヤはモーターに直結されています。
モーターギヤが回転することにより、ラックと可動体ワークが
（水平）直動運動します。
モーター負荷トルクＴを求めましょう。
但し、
・モーター従動ギヤ半径：r=3(cm)
・モーター従動ギヤ質量：Mr=25(g)
・モーターギヤ半径：R=1.5(cm)
・モーターギヤ質量：Mm=12.5(g)
・ラック質量：Mc1=50(g)
・可動体質量：Mc2=200(g)
・加速(減速)時間：t1(t3)=0.1(s)
・等速時間：t2=0.2(s)
・モーター回転角度：θ=450(°)
・ラック＆可動体移動量：E=4(cm)
↓
・モーター1回転当たりの移動量：A=360ｘ4/450=3.2(cm/rev)
（A=（360xE/θ）xｷﾞﾔ比）
モーター負荷トルクＴは下記式で求められます。
Ｔ=Ｔr(加速トルク)+Ｔc(外的負荷トルク）
※外的負荷トルクは主に摩擦トルクのことです。
それぞれを求めてみましょう。
●まずは、加速度によって生じる物体のイナーシャによる
負荷トルク(Ｔr)を求めます。
この時、回転系の負荷と直動系の負荷に分けて考えます。
回転運動系のイナーシャは、＜モーターギヤ＞になります。
直動運動系のイナーシャは、＜ラックとワーク＞になります。
・回転運動系ｲﾅｰｼｬIr (g･cm･s2)
Ir=(GD^2/4)/g=Jr/g
ここで、Jr= Mr x K＾2 = Mr x (r^2/2) (g･cm2)
（Kの2乗） （rの2乗/2）
但し、Mr：質量(ﾓｰﾀｰｷﾞﾔの質量) (g) r：回転半径(ﾓｰﾀｰｷﾞﾔの半径) (cm)
g：重力加速度 980 (cm/s2)
より、
Ir（従動ｷﾞﾔ）=25x(3x3/2)/980=0.11 (g･cm･s2) Ir（従動ｷﾞﾔ）=0.11 (g･cm･s2)
Ir（ﾓｰﾀｰｷﾞﾔ）=12.5x(1.5x1.5/2)/980=0.11 (g･cm･s2) Ir（ﾓｰﾀｰｷﾞﾔ）=0.01 (g･cm･s2)
・直動運動系ｲﾅｰｼｬIc (g･cm･s2)
Ic=(GD2/4)/g=Jc/g
ここで、
直動運動する物体のイナーシャ（慣性モーメン）の式
↓
Jc=Mc x (A/2π)＾2 (g･cm2)
（A/2π）の2乗
但し、Mc：質量(ﾗｯｸとﾜｰｸの質量) (g) g：重力加速度 980 (cm/s2)
A：単位移動量 (cm/rev)
↑単位:ﾓｰﾀｰ1回転当たりの移動量(cm)
より、
Ic=(50+200)ｘ(3.2/2ｘπ)ｘ(3.2/2ｘπ)/980=0.07 (g･cm･s2) Ic=0.07 (g･cm･s2)
よって、加速トルクTrは、
回転系（従動ギヤ）の加速トルク： Ｔr= Ir x(ﾓｰﾀｷﾞﾔ/ﾜｰｸｷﾞﾔ)^2 x ω'=0.11 x (1.5/3)x(1.5/3) x ω'
＜下記のpoint参照：↑従動ギヤが対象で、モーターギヤは直結してるので、ギヤ比は１＞
回転系（モーターギヤ）の加速トルク： Ｔr= Ir x ω'=0.01 x ω'
直動系の加速トルク： Ｔr= Ic xω'=0.07 x ω'
但し、Ir ：回転運動系 ｲﾅｰｼｬ (g･cm･s2) Ic ：直動運動系 ｲﾅｰｼｬ (g･cm･s2)
ω' ：モーター 角加速度 (rad/s2)
モーター側とワーク側のギヤ比が異なる場合、（ワーク側の）負荷イナーシャはギヤ比の２乗に比例します。
リンクレバーなどを用いて、ワークの移動量を変える場合も同様で、例えばリンク比を１：３にして、ワークの移動量
を３倍にした場合、ワークのイナーシャは３の２乗＝９倍になります。
直動系のイナーシャの式は、Jc=Mc x (A/2π)＾2 (g･cm2)です。
（A/2π）の2乗
Ａは、モーター1回転当たりの移動量なので、2乗に比例していることが、分かります。
つまり、回転系でも直動系でも、ギヤやリンクなどを用いて移動量（運動量）を変化させると、イナーシャは、その比
（変化量）の２乗に比例します。
モーター側とワーク側のギヤ比が異なる場合、（モーター軸換算される）負荷トルクの基本式は下記になります。
【回転系負荷トルク】
Ｔ= 〔Ｉr x (ﾓｰﾀｷﾞﾔ/ﾜｰｸｷﾞﾔ)^2〕 x ω'
（ﾓｰﾀｷﾞﾔ/ﾜｰｸｷﾞﾔ）の2乗
↑ここで、ワークイナーシャを（ギヤ比に応じて）モーター軸換算して計算してます。
【直動系負荷トルク】
Ｔ= Ｉc x ω'
但し、Ic=Jc/ｇで、Jc=Mc x (A/2π)＾2 です。
（A/2π）の2乗
↑ここで、ワークイナーシャを（レバー比に応じて）モーター軸換算して計算してます。
このように、ギヤ比を変えることで、ワークイナーシャを大幅に軽減できます。
モーターの許容イナーシャをワークイナーシャが超えないようにするには、有効な手段の１つと言えます。
モーターの許容イナーシャとワークイナーシャの関係については、↓下記を参照して下さい。
●ω'を求めます。
(最高)角加速度ω' (rad/s2)
基本駆動波形は、上図のような基本台形波です。
まずは最高角速度ωを求めます。
回転角度は台形の面積となるので、 ωx(t1+t2)=θxπ/180 (rad/s)
但し、
t1、t2はX軸の時間 (s) θは回転角度 (°)
ω=θxπ/（180x（t1+t2）） (rad/s)
より、
ω=450xπ/(180x(0.1+0.2))=26.17 (rad/s)
ここで、求める最高角加速度ω'は台形波の斜辺となります。
よって、
ω'=ω/t1=〔θxπ/180x（t1+t2）〕/t1 (rad/s2)
より、
ω'=26.17/0.1=261.7 (rad/s2) ω'=261.7 (rad/s2)
よって、
回転系（従動ギヤ）の加速トルク：Ｔr=Ir ｘ（ﾓｰﾀｷﾞﾔ/ﾜｰｸｷﾞﾔ）^2 x ω'
=（0.11) x (1.5/3)x(1.5/3) x 261.7 =7.20 (g･cm)
回転系（モーターギヤ）の加速トルク：Ｔr=Ir ｘ（ﾓｰﾀｷﾞﾔ/ﾜｰｸｷﾞﾔ）^2 x ω'
=0.01 x 261.7 =2.62 (g･cm)
回転系の加速トルク：Ｔr =7.20+2.62=9.82 (g･cm)
直動系の加速トルク：Ｔr=Ic xω' =0.07x261.7=18.32 (g･cm)
回転系の加速トルク Tr=9.82 (g･cm)
直動系の加速トルク Tr=18.32 (g･cm)
●次に外的負荷(バネや摩擦など)によって生じる物体の外的負荷トルク(=摩擦トルク)Ｔcを求めます。
直動運動する外的負荷トルク（摩擦トルク）の式
↓
Ｔc=F x D/(2 x n x i) （g･cm）
水平の場合：F=Fa + μx N
↑バネ力など ↑摺動抵抗（Ｎは垂直抗力）
傾きがある場合：F=Fa + mg x (sinθ + μcosθ) ←（μx Nを分解した式）
↑バネ力など ↑傾き方向の力 ↑垂直方向の力
但し、F：直動運動方向の力 (gf) D：最終（ワーク側）ギヤ直径 (cm) n：効率(0.85～0.95) i：減速比
Fa：外力(バネなど) (gf) μ：摺動面の摩擦係数(0.05) N：垂直方向荷重(=mg) (gf)
m：ワークとラックの総質量 (g) g：重力加速度 980 (cm/s2) θ：傾き角度 (°)
では、まずはＦを求めます。
F=Fa+μNですが、Faはﾊﾞﾈ力などの外力なので今回は作用していないので"0"です。
よって、
F=μN=μx mg= 0.05x(50+200)x980=12250x10-5〔N〕=12.5〔gf〕 F=12.5(gf)
(10の-5乗）
〔単位系比較〕
F=μN=μx mg= 0.05x(0.05+0.2)x9.8=0.1225〔N〕=0.0125〔kgf〕 F=0.0125(kgf)
混乱しやすいので注意が必要です！
上述の式で、摺動抵抗(摩擦力f)がμNとなっています。
摩擦力fは、f=μN=μx mg です。
ここで注意が必要です。fには重力加速度が存在します。単位系が(cm/s2)ですので、単純にgfとはならないのです。
ｆ=μxmgの単位系は〔mNまたはN〕
であって、〔gfまたはKgf〕とはならないので注意しましょう。
ちなみに、
●質量の単位が〔kgf〕なら重力加速度gは9.8(m/s2)で、mgは〔N〕
●質量の単位が〔gf〕なら重力加速度gは980(cm/s2)で、mgは x10^-5〔N〕
●9.8〔N〕は、1〔kgf〕
以上で、外的（摩擦）負荷トルクが下記のように計算できます。
Tc=Fx D/(2xnxi)
ここで、減速比ｉを考えます。
モーターギヤが１回転すると、従動ギヤは１／２回転します。上図のようなラック＆ピニオンの構造なので、ラックは
従動ギヤから伝達されるため、減速比 i=モータギヤ／従動ギヤ になります。
Tc=12.5x (3x2) /(2x0.95x 1.5/3)
↑F ↑D ↑n ↑ｷﾞﾔ比(=ﾓｰﾀｷﾞﾔ/従動ｷﾞﾔ)
= 75/0.95 =78.95 (g･cm) 外的負荷トルク Tc=78.95 (g・cm)
ここで考えましょう。直動系の加速トルクと外的(摩擦)負荷トルクについてです。
この負荷が【加速時】と【減速時】にモータに負荷をかける方向に働くのか、それともモーターの負荷軽減する方向に働くのか、計算上プラスになるのかマイナスになるか？を考える必要があります。
また、【行き】【帰り】についても同様に考える必要があります。
●加速時→【加速トルク】は、モータに負荷をかける方向に働くので、計算上プラスになります。
【外的負荷トルク】は、加速しようとしているのにブレーキをかける方向に働きます。
つまり、負荷をかける方向に働くため、計算上プラスになります。
●減速時→【減速トルク】も加速トルク同様に、モータに負荷をかける方向に働くので、計算上プラスになります。
【外的負荷トルク】は、減速しようとしているものに更にブレーキをかけて助ける方向に働きます。
つまり負荷を軽減する方向に働くため、計算上マイナスになります。
●行き、帰り→水平のため、特に考慮しなくても大丈夫ですが、上りや下りのように重力に逆らうような場合は、この部分も
考慮する必要があります。
以上より、モーターへの最大負荷は加速時に発生することが分かります。
ここで、上述で計算した結果をまとめます。
回転系の加速トルク Tr=9.82 (g･cm)
直動系の加速トルク Tr=18.32 (g･cm)
外的(摩擦)負荷トルク Tc=78.95(g･cm)
加速時に発生する、モーター最大負荷トルクは、
Ｔ= Tr + Tc
↑回転&直動系の加速トルク ↑外的負荷トルク(=摩擦トルク)
より、
T=(9.82+18.32)+78.95=107.09 (g･cm) モーター最大負荷トルクT=107.09(g･cm)
【補足①】
モーターを選定をする際は、これに安全率を考慮して選定しましょう。
一般的には、安全率2倍(S=2)で考えます。
上記の計算例の場合、モータを選定する際は、最大加速時に発生する（最高速度到達付近＝最高速度pps時）
T=107.09ｘ2=214.18(g･cm)を目安に（最大速度時に214.18(g･cm)程度のﾄﾙｸを持つ）ﾓｰﾀを選定するのが良いでしょう。
【補足②】
モーター選定の際は、モーターの許容イナーシャと負荷イナーシの関係を考慮（ステッピングモーターならばイナーシャ
比１０倍以下）する必要があります。
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