ここではモーターの回転による直動系のイナーシャによるモーター負荷トルクついて実際に計算してみます。

​ワークギヤとモーターギヤのギヤ比が１：１の場合の計算例です。

 

【モーター負荷トルク計算】

 

　右図ようにラック＆ギヤがあり、可動体ワークはラックに固定

  されています。ギヤはモーターに直結されています。

　モーターギヤが回転することにより、ラックと可動体ワークが

　（水平）直動運動します。

 

　モーター負荷トルクＴを求めましょう。

​

　但し、

　・モーターギヤ半径：r=3(cm)

　・モーターギヤ質量：Mr=25(g)

　・ラック質量：Mc1=50(g)

　・可動体質量：Mc2=200(g)

　・加速(減速)時間：t1(t3)=0.1(s)

　・等速時間：t2=0.2(s)

　・モーター回転角度：θ=450(°)

　・ラック＆可動体移動量：E=4(cm)

　　　　　　　　　　　　　　↓

　・モーター1回転当たりの移動量：A=360*4/450=3.2(cm/rev)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（A=（360xE/θ）xｷﾞﾔ比）

　

　モーター負荷トルクＴは下記式で求められます。

​

​

  Ｔ=Ｔr(加速トルク)+Ｔc(外的負荷トルク）

　　　　　　　　　　※外的負荷トルクは主に摩擦トルクのことです。

 

　それぞれを求めてみましょう。

​

​

●まずは、加速度によって生じる物体のイナーシャによる

　負荷トルク(Ｔr)を求めます。

　この時、回転系の負荷と直動系の負荷に分けて考えます。

​

　回転運動系のイナーシャは、＜モーターギヤ＞になります。

　直動運動系のイナーシャは、＜ラックとワーク＞になります。

​

　　・回転運動系ｲﾅｰｼｬIr　(g･cm･s2)

　　　　Ir=(GD2/4)/g=Jr/g

 

　　　　ここで、Jr=　Mr x K^2　=　Mr x (r^2/2)　(g･cm2)

                    　　　    （Kの2乗）　（rの2乗/2）

 

　　　　但し、Mr：質量(ﾓｰﾀｰｷﾞﾔの質量)　(g)　　r：回転半径(ﾓｰﾀｰｷﾞﾔの半径)　(cm)

                   g：重力加速度　980　(cm/s2)

        より、

​

　　　　Ir=25x(3x3/2)/980=0.11　(g･cm･s2)　　　　　　　　            　　　　　Ir=0.11　(g･cm･s2)

​

     ・直動運動系ｲﾅｰｼｬIc　(g･cm･s2)　

　　　　Ic=(GD2/4)/g=Jc/g

 

　　　　ここで、

 　　直動運動する物体のイナーシャ（慣性モーメン）の式

　　　　　　　　　　　　　　↓

　　　　　Jc=Mc x (A/2π)^2　(g･cm2)

　　　　　　　　　（A/2π）の2乗

　　　　　　　　       

　　　　但し、Mc：質量(ﾗｯｸとﾜｰｸの質量)　(g)　　g：重力加速度　980　(cm/s2)

                 A：単位移動量　(cm/rev)　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　↑単位:ﾓｰﾀｰ1回転当たりの移動量(cm)

　　　　より、

​

　　　　Ic=(50+200)ｘ(3.2/2ｘπ)ｘ(3.2/2ｘπ)/980=0.07　(g･cm･s2)　　　　　Ic=0.07　(g･cm･s2)　

 

 

　　　　よって、加速トルクTrは、

　

　　　　回転系の加速トルク：　Ｔr= Ir xω'=0.11xω'

　 　　 直動系の加速トルク：　Ｔr= Ic xω'=0.07xω'

 

　　　　但し、Ir　：回転運動系　ｲﾅｰｼｬ　(g･cm･s2)　　Ic　：直動運動系　ｲﾅｰｼｬ　(g･cm･s2)　

　　　　　　　ω' ：モーター　角加速度　(rad/s2)

​

●ω'を求めます。

 

　　　(最高)角加速度ω'　(rad/s2)

　　　基本駆動波形は、上図のような基本台形波です。

​

​

　　　まずは最高角速度ωを求めます。

 

　　　回転角度は台形の面積となるので、 ωx(t1+t2)=θxπ/180　(rad/s)

　　　但し、

       t1、t2はX軸の時間　(s)　θは回転角度　(°)

​

　　　ω=θxπ/（180x（t1+t2））　(rad/s)

　　　より、

　　　ω=450xπ/(180x(0.1+0.2))=26.17　(rad/s)　

 

　　　ここで、求める最高角加速度ω'は台形波の斜辺となります。

　　　よって、

 

　　　ω'=ω/t1=〔θxπ/180x（t1+t2）〕/t1　　(rad/s2)

　　　より、

　　　ω'=26.17/0.1=261.7　(rad/s2)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ω'=261.7　(rad/s2)

​

　　

　　　よって、

　　　回転系の加速トルク：Ｔr=Ir xω' =0.11x261.7=28.8 (g・cm)

　 　 直動系の加速トルク：Ｔr=Ic xω' =0.07x261.7=18.3 (g･cm)

　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　回転系の加速トルク　Tr=28.8　(g･cm)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　直動系の加速トルク　Tr=17.3　(g･cm)

​

​

●次に外的負荷(バネや摩擦など)によって生じる物体の外的負荷トルク(=摩擦トルク)Ｔcを求めます。

　

　　直動運動する外的負荷トルク（摩擦トルク）の式

　　　　　　　　　　　　　　↓

      Ｔc=F x D/(2 x n x i)　　（g･cm）

 　　　　　　

　　水平の場合：F=Fa　　　　+　　μx N

　　　　　　　　　　　　↑バネ力など　　↑摺動抵抗（Ｎは垂直抗力）

   

　　傾きがある場合：F=Fa　     +　    mg x (sinθ     +       μcosθ)　　　　　　　←（μx Nを分解した式）

　　　　　　　　　　　　　　 ↑バネ力など　          ↑傾き方向の力　    ↑垂直方向の力

 

     但し、F：直動運動方向の力　(gf)　　 D：最終（ワーク側）ギヤ直径　(cm)    n：効率(0.85～0.95)　　 i：減速比

　　　　　　　　Fa：外力(バネなど)　　(gf)　　μ：摺動面の摩擦係数(0.05)　　N：垂直方向荷重(=mg)　(gf)

　　　　　　m：ワークとラックの総質量　(g)　　g：重力加速度　980　(cm/s2)　　θ：傾き角度　(°)

​

　　【補足】＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

　　

　　　　ﾗｯｸ&ﾋﾟﾆｵﾝの場合、中間ｷﾞﾔを入れてもﾓｰﾀｷﾞﾔの歯数によって運動が決定する構造です。

　　　ﾓｰﾀｷﾞﾔが1歯送るとﾗｯｸがそのﾘｰﾄﾞ分、例えば、3.14mm移動します。中間ｷﾞﾔはそれを伝達しているだけです。

　　　よって、上図のような構造の場合は、減速比はi=1として考えます。

　　　

　　　中間ｷﾞﾔは当然回転系のｲﾅｰｼｬに起因しますので、回転系の負荷ﾄﾙｸとして影響しますが、外的負荷ﾄﾙｸには計算上

　　　いれなくて良い（実際は摺動抵抗が発生しますが、その分、計算に入れると複雑化してしまうので、ここでは省略します）

　    と思います。

　　　但し、実際は中間ｷﾞﾔが多ければ多い程、伝達力は減少します。一般的にはおもちゃのｷﾞﾔなどは10～20%down、

　　　精密なｷﾞﾔは、1～2%down程度のdownと言われています。

　　　ガタが大きすぎて伝達力が大幅にｄｏｗｎする場合は、計算が成立しない場合があります。

​　　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

　　

 

　　では、まずはＦを求めます。

​

​

　　F=Fa+μNですが、Faはﾊﾞﾈ力などの外力なので今回は作用していないので"0"です。

　　よって、

​

　　F=μN=μx mg= 0.05x(50+200)x980=12250x10-5〔N〕=12.5〔gf〕　　　　　　　　　　F=12.5(gf)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(10の-5乗）　　　　　

　　〔単位系比較〕

　　　　　

　　F=μN=μx mg= 0.05x(0.05+0.2)x9.8=0.1225〔N〕=0.0125〔kgf〕                    F=0.0125(kgf)

​

​

​

​

​

　　　混乱しやすいので注意が必要です！

　　　　上述の式で、摺動抵抗(摩擦力f)がμNとなっています。

　　　　　　　　

   　　摩擦力fは、f=μN=μx mg　です。

 

 

　　　　ここで注意が必要です。fには重力加速度が存在します。単位系が(cm/s2)ですので、単純にgfとはならないのです。

      

       　ｆ=μxmgの単位系は〔mNまたはN〕

​

　　　であって、〔gfまたはKgf〕とはならないので注意しましょう。

　　　ちなみに、

​

　　　●質量の単位が〔kgf〕なら重力加速度gは9.8(m/s2)で、mgは〔N〕

　　　　●質量の単位が〔gf〕なら重力加速度gは980(cm/s2)で、mgは　x10^-5〔N〕

　　　●9.8〔N〕は、1〔kgf〕

​

　　

　以上で、外的（摩擦）負荷トルクが下記のように計算できます。

   

    Tc=Fx D/(2xnxi)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 

　　Tc=12.5x　(3x2) /(2x0.95x 1) = 39.47　(g･cm)      外的(摩擦)負荷トルク　Tc=39.47(g･cm)

　　　　　↑F　　↑D　　   ↑n　↑ｷﾞﾔ比(=ﾓｰﾀｷﾞﾔとﾗｯｸが直結のため、i=1)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　

 

 

 

　　　　　　　　　　　　　　　　

 

ここで考えましょう。直動系の加速トルクと外的(摩擦)負荷トルクについてです。

 

この負荷が【加速時】と【減速時】にモータに負荷をかける方向に働くのか、それともモーターの負荷軽減する方向に働くのか、計算上プラスになるのかマイナスになるか？を考える必要があります。

また、【行き】【帰り】についても同様に考える必要があります。

 

●加速時→【加速トルク】は、モータに負荷をかける方向に働くので、計算上プラスになります。

　　　　　

　　　　　　　　【外的負荷トルク】は、加速しようとしているのにブレーキをかける方向に働きます。

　　　　　　　　つまり、負荷をかける方向に働くため、計算上プラスになります。

 

●減速時→【減速トルク】も加速トルク同様に、モータに負荷をかける方向に働くので、計算上プラスになります。

 

　　　　　　　　【外的負荷トルク】は、減速しようとしているものに更にブレーキをかけて助ける方向に働きます。

　　　　　　　　つまり負荷を軽減する方向に働くため、計算上マイナスになります。

 

●行き、帰り→水平のため、特に考慮しなくても大丈夫ですが、上りや下りのように重力に逆らうような場合は、この部分も

　　　　　　　　　考慮する必要があります。

​

​

​以上より、モーターへの最大負荷は加速時に発生することが分かります。

​

​

ここで、上述で計算した結果をまとめます。

​

　　回転系の加速トルク　Tr=28.8　(g･cm)

　　直動系の加速トルク　Tr=17.3　(g･cm)

　　外的(摩擦)負荷トルク　Tc=39.47(g･cm)

​

​

加速時に発生する、モーター最大負荷トルクは、

​

　　　　Ｔ=　Tr　　　　　　　+　　　　　　　　Tc

　　　　　　↑回転&直動系の加速トルク　　↑外的負荷トルク(=摩擦トルク)

　　　　より、

　　　　T=(28.8+17.3)+39.47=85.57 (g･cm)　　　　　　　　　　　　　　モーター最大負荷トルクT=85.57(g･cm)

​

​

　　【補足①】

　　モーターを選定をする際は、これに安全率を考慮して選定しましょう。

　　一般的には、安全率2倍(S=2)で考えます。

　　上記の計算例の場合、モータを選定する際は、最大加速時に発生する（最高速度到達付近＝最高速度pps時）

　　　T=85.57ｘ2=171.14(g･cm)を目安に（最大速度時に171.14(g･cm)程度のﾄﾙｸを持つ）ﾓｰﾀを選定するのが良いでしょう。

​

　　【補足②】

　　モーター選定の際は、モーターの許容イナーシャと負荷イナーシの関係を考慮（ステッピングモーターならばイナーシャ

　　比１０倍以下）する必要があります。